今回は、第２回ＳＰＩＣＡグランプリ（無学年算数バトル）の内容と対策です。
具体的には、２０２０年４月１７日からweb上で開催された、第２回ＳＰＩＣＡグランプリの問題の内容を紹介するとともに、その問題を解いた上で、おばばが考えた解き方のポイント（対策）を書いてみます。
ＳＰＩＣＡグランプリは、学習の進んだお子さんがチャレンジするテストであり、非常に難しいテストになっています。なお、ＳＰＩＣＡは早稲田アカデミーから分かれた塾で、「最難関中学受験専門塾」をうたっており、２０１６年７月に自由が丘に設置されています。【早稲田アカデミーの特待生情報、早稲田アカデミーのトップレベル模試については、以下の記事を参照下さい。】
○大問が８問です。
１．虫食い算
【内容】
（５ケタ÷３ケタ）の割り算の虫食い算。少ない数字を手掛かりに虫食い算を解く。
【ポイント】
割り算の筆算の中で、引き算の結果が「９」になっていることから、その上の（引かれる数字、引く数字）の組み合わせが、（０，１）、（１，２）、（２，３）・・・、（８、９）のいずれか。また、（９□□（３ケタ）－３ケタ）の引き算の結果が２ケタ（百の位はゼロ）となっていることから、引く数の百の位は「９」か「８」。これらを元に、いくつかのパターンをつぶしていきます。
２．等差数列の応用
【内容】
縦７行、横の列はずっと続くマス目に数字を入れていく。１、２、３、４・・・と１列目の１行目、２行目と入れていって、７を１列目の７行目に入れたら、８を２列目の７行目に入れる。その後は、８を２列目の６行目に入れる。このようにして１～１０００までを並べる。５行目に並ぶ数のうち、４で割ると割り切れるが、６で割ると割り切れない数は何個あるか。
【ポイント】
一つの数列が２つの等差数列の組み合わせになることに目をつけます。あとは、それぞれの数列を別の数列と考えて、それぞれについて、（４の倍数）があるかないか、最初に４の倍数がでてくる数はいくつで、それがいくつ置き（差がいくつの等差数列）で並んでいるかをみていきます。
３．場合の数
【内容】
（１）１～９の９枚の数字カードをＡ、Ｂの２人に余りなく配り、配られたカードの和が大きい方が勝ち。Ａが勝つカードの配り方は何通りか。（ＡもＢも最低１枚は配られる。）
（２）１～８の９枚のカード（１～８が１枚ずつ、８は２枚）をＡ、Ｂの２人に余りなく配り、配られたカードの和が大きい方が勝ち。Ａが勝つカードの配り方は何通りか。（ＡもＢも最低１枚は配られる。）
【ポイント】
両方とも、（Ａの枚数、Ｂの枚数）が、（１，８）、（２、７）、（３、６）、・・、（８、１）の場合に分けて、それぞれ、何通りか数え上げる。例えば、（３、６）でＡが勝つ配り方と、（６、３）でＡが勝つ配り方は、両方足すと、９枚から３枚を選ぶ選び方になることに気づくと、早く処理できる。（２）では、引き分けに注意。
４．場合の数
【内容】
（１）１～９の数字の書いたカードがたくさん。ここから４枚選ぶと、数字は全部異なっていた。この４枚を使った４ケタの整数を全て足すと「１０６６５６」になるようなカードの選び方は何通りか。
（２）１～９の数字の書いたカードがたくさん。ここから４枚のカードを使って作ることのできる全ての４ケタの数を足すと「２９９９７」となるカードの選び方は何通りか。
【ポイント】
（１）は、「１０６６５６」を素因数分解しておきます。そして、選んだ４つの数字が異なるので、これをＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。まず、千の位がＡのとき、４ケタの数を書きだして、位毎に足す。また、千の位がＢのとき、同じように４ケタの数を書きだして足してみる。そうすると、千の位がＡのとき、Ｂのとき、Ｃのとき、Ｄのとき、全ての時の４ケタの和（１０６６５６）をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄで表すとどうなるかが分かります。これが、106656になることを使うと分かると思います。
（２）は、４枚のカードが、全て異なる時、２枚が同じ時、３枚が同じ時、４枚が同じ時に分けて、それぞれ何通りか数え上げます。４枚が異なる時は、（１）の考え方を使うと分かります。それ以外は、具体的に数え上げていくことになります。
５．場合の数
【内容】
（１）横に４つの四角が１列に並んだマス目あり。その各四角に、左から、①、②、③、④のマス目番号がつけてある。このマス目に、１、２、３、４の数字をマス目番号とは異なるマスに入れるとき、入れ方は何通りあるか。また、同じように、横に５つの四角が並んだマス目に、①～⑤のマス目番号をつけて、１～５の数字をマス目番号とは異なるマスに入れる時、入れ方は何通りあるか。
（２）16マス（４×４）に４つの「○」と４つの「×」を書き込む。縦の列、横の行、それぞれ、「○」が一つ、「×」が一つとなるように書き込むとすると、何通りあるか。
（３）２５マス（５×５）に「○」を５つ、「×」を５つ書き込む縦の列、横の行、それぞれ、「○」が一つ、「×」が一つとなるように書き込むとすると、何通りあるか。
【ポイント】
（１）ポイントが何か分からず、おばばは、全ての場合を数え上げました。
（２）、（３）は、全ての場合を数え上げようとしましたが、あきらめました。（><）
６．図形
【内容】
長方形と三角形①の面積比を求める問題。
【ポイント】
長方形の一部（三角形）を移動することで、長方形と同じ面積のひし形を作り、そのひし形と三角形②の面積比を求めればいいです。その時、ひし形を２つの対角線により、４つの同じ三角形②に分けると、三角形①と三角形②が相似になることが分かります。
７．図形
【内容】
円、四角形、三角形の組み合わさった図形で、三角形と四角形の面積比を求める問題。
【ポイント】
円の直径の両端の２点と円周上の１点を直線で結ぶと直角三角形ができます。このようにして直角三角形を２つ作り、相似を活用して、求めたい三角形と四角形の面積が、全体の三角形ＡＢＣの面積の「何分の何」になるかを計算します。
８．図形
【内容】
長方形、三角形の組み合わさった図形で、ある部分の長さを求める問題（３問）
【ポイント】
（１）相似を見つけて対応する辺の長さを求めます。
（２）３０度、６０度、９０度の直角三角形の斜辺と短辺の長さが２：１を使う。あとは、相似を活用します。
（３）長方形の頂点Ｃから対角線ＢＤに垂線を補助線として書きます（ＢＤと対角線の交点をＨとします。）。３０度、６０度、９０度の直角三角形の斜辺と短辺の長さが２：１を使って、ＦＨの長さは、１．５。するとＢＨは、６．５になるので、ＢＣ：ＢＨ＝７：６．５＝１４：１３。三角形ＢＤＣと三角形ＢＣＨは相似なので、ＢＤ＝ＢＣ×１４÷１３。ＦＤ＝ＢＤ－５。あとは相似を使います。
全体を通してみると、非常に難しいです。
この回のテストについては、知識としては、基本的なもの（加減乗除、等差数列、１～○までの間に△の倍数は何個あるか、○枚のカードから△枚とる組み合わせの数、相似など）を使います。ただ、これらを大前提として、未知の問題に対して、自分で色々チャレンジする中で規則性を見つけることで、解いていく問題が多かったです。
その意味では、「鋭いひらめき」がないと解けない問題は多くはなく、地道に論理的にチャレンジすることを求める良問が多かったです。難しい問題ばかりですが、今回は、基本的には時間の制限がそれほどありませんので、１問に多くの時間をかけてチャレンジすることが、解ける、解けないに関わらず、力になるテストだったと思います。
対策としては、「場合の数」、「規則性と等差数列の和の組み合わせ問題」、「図形は相似と、同じ形の図形を自分で追加して解く問題」についてトレーニングする位です。公式を使う問題ではないので、算数の本当の力をつけることが重要だと思います。
